Úvod Laplaceova transformace Základní pojmy Modelování a identifikace řízeného systému Stavový popis spojitého dynamického systému Vnější popis a vlastnosti LSDS Řízení v uzavřeném regulačním obvodu


  1. Přenosová funkce systému
    1. Některé vlastnosti přenosu a jeho další formy
    2. Zesílení systému
    3. Stabilita systému
    4. Systém s minimální a neminimální fází
    5. Algebra přenosů

5.2.2 Zesílení systému

Jestliže při nulových počátečních podmínkách systému přivedeme na jeho vstup omezený signál u(t) s definovanou limitou pro t → ∞, pak podíl mezi ustálenou hodnotou výstupu
y(t → ∞) a u(t → ∞) je tzv. zesílení systému, tj.

(5.7)


Zesílení systému z jeho přenosu zjistíme velmi snadno. Uvažujme statický systém s přenosem (5.3). Typickým omezeným vstupem s definovanou limitou v nekonečnu je jednotkový skok u(t)=1(t), jehož obrazem je a samozřejmě . Aplikací věty o koncové hodnotě funkce pak dostaneme

(5.8)


5.2.3 Stabilita systému

Je to jedna z nejvýznamnějších vlastností systému. Existuje řada definicí stability, některé z nich mohou být dosti složité. Jedna z nich, Ljapunovova definice stability říká, že systém je stabilní, jestliže výstup a všechny stavové veličiny systému jsou omezené a konvergují pro čas blížící se k nekonečnu k nule při nenulových (dostatečně malých) počátečních podmínkách. Tato definice ovšem platí i pro systémy nelineární a časově variantní. Současně vidíme, že v tomto případě se neuvažuje s působením vstupu do systému.

Vzhledem k tomu, že jak při analýze systému, tak zejména později při jeho řízení budeme vždy působení vstupu předpokládat, bude užitečnější, jestliže budeme vycházet z definice tzv. BIBO (z anglického Bounded Input - Bounded Output) stability systému. Podle této definice platí:

Systém je BIBO stabilní tehdy, jestliže omezený vstup do systému generuje omezený výstup ze systému.

Pozn.: Funkce je na intervalu t ∈ <0,∞) omezená tehdy, jestliže je na celém tomto intervalu konečná (tedy i pro t → ∞).

Podmínku stability pro lineární časově invariantní systém popsaný přenosovou funkcí (5.3) můžeme odvodit následovně:

Vložme na vstup do systému jako typickou omezenou funkci jednotkový skok, tedy
u(t) = 1(t) s obrazem U(s)=1/s.

Dále pro zjednodušení předpokládejme, že kořeny charakteristického polynomu a(s) nejsou násobné (pokud by se vyskytovaly, neměly by vliv na výsledné závěry, pouze postup k získání těchto závěrů by byl poněkud složitější). Pak můžeme polynom napsat jako

(5.9)


Po dosazení za U(s) a za předpokladu striktní ryzosti G(s) (m < n) dostaneme pro obraz výstupu a jeho rozvoj do parciálních zlomků

(5.10)


Kořeny si mohou být reálné i komplexní (pro polynom s reálnými koeficienty se komplexní kořeny mohou vyskytovat pouze jako dvojice kořenů komplexně sdružených). Každý z kořenů si má tedy svou reálnou a imaginární část (pro reálné kořeny je imaginární část nulová) a může být napsán jako

(5.11)


Průběh výstupní veličiny v časové oblasti pak dostaneme zpětnou transformací (5.10) jako

(5.12)


Protože platí známý vztah , je zřejmé že exponenciály s imaginárním exponentem představují ryze kmitavé složky výstupní funkce.

Nyní je zřejmé, že aby funkce y byla omezená, nesmí součet na pravé straně (5.12) obsahovat ani jednu exponenciálu, která by pro t → ∞ rostla nade všechny meze. K tomu by ovšem došlo tehdy, pokud by některá z reálných složek kořenů αi byla kladná. Nyní již můžeme uvést podmínku stability systému popsanou přenosem (5.3).

Definice: Lineární spojitý časově invariantní systém je stabilní tehdy, pokud všechny kořeny charakteristického polynomu přenosu systému leží v levé polorovině Gaussovy komplexní roviny (mají záporné reálné části).

Pozn.: Kořeny polynomu, které splňují uvedenou podmínku, nazýváme také stabilní kořeny. Protože tyto kořeny současně představují póly přenosu, říkáme jim také stabilní póly.

Z polohy kořenů polynomu a(s) můžeme vyvodit další závěry:

Pokud všechny kořeny charakteristického polynomu jsou reálné, je průběh y(t) aperiodický (stabilní nebo nestabilní).

Pokud existuje alespoň jediná dvojice komplexně sdružených kořenů s nenulovou reálnou částí, je průběh y(t) periodický (kmitavý). Pokud je tato reálná část záporná, jde o kmity tlumené (stabilní průběh), pokud kladná, jde o kmity s amplitudou rostoucí do nekonečna (nestabilní průběh).

Jestliže existuje alespoň jediná dvojice komplexně sdružených kořenů s nulovou reálnou částí (tedy ležící na imaginární ose) a všechny další reálné části kořenů jsou záporné, bude výstup y(t) obsahovat netlumeně kmitavou složku s konstantní amplitudou. Tehdy říkáme, že systém je na mezi (hranici) stability.

Jestliže charakteristický polynom obsahuje jeden nebo více nulových kořenů, ležících v počátku souřadnic (0,0) (výše uvedený astatický systém), poroste výstup y(t) nade všechny meze (systém je nestabilní).

Celkově je situace znázorněna na obr. 5.1, průběhy výstupu odpovídající jednotlivým případům na obr. 5.2 - 5.4.


Poloha kořenů charakteristického polynomu v komplexní rovině.
Obr. 5.1 Poloha kořenů charakteristického polynomu v komplexní rovině.


Stabilní a nestabilní aperiodický průběh výstupu.
Obr. 5.2 Stabilní a nestabilní aperiodický průběh výstupu.


Stabilní a nestabilní periodický průběh výstupu.
Obr. 5.3 Stabilní a nestabilní periodický průběh výstupu.


Nestabilní průběh výstupu (integrátor) a průběh na mezi stability.
Obr. 5.4 Nestabilní průběh výstupu (integrátor) a průběh na mezi stability.

Polohu kořenů můžeme vyšetřit bez problémů pro charakteristický polynom 1. a 2. stupně. I když existuje analytický postup ještě pro řešení kořenů polynomů 3. a 4. stupně (pro vyšší stupně už ne), je tento výpočet pracný a pro výpočet kořenů polynomů (rovnic) stupně
n > 2 jsou používány numerické metody. Při vyšetřování stability nás však nezajímá přesná hodnota kořenů, hledáme pouze odpověď na otázku, zda leží napravo nebo nalevo od imaginární osy. Jak tuto odpověď nalézt pomocí tzv. kritérií stability zjistíme v kapitole věnované vlastnostem regulačních obvodů.