Úvod Laplaceova transformace Základní pojmy Modelování a identifikace řízeného systému Stavový popis spojitého dynamického systému Vnější popis a vlastnosti LSDS Řízení v uzavřeném regulačním obvodu


  1. Přenosová funkce systému
    1. Některé vlastnosti přenosu a jeho další formy
    2. Zesílení systému
    3. Stabilita systému
    4. Systém s minimální a neminimální fází
    5. Algebra přenosů

5.2 Přenosová funkce systému

Přenosová funkce (přenos) je definována jako podíl Laplaceových obrazů výstupní a vstupní veličiny systému při nulových počátečních podmínkách. Přenos je racionální funkcí (podíl dvou polynomů) v komplexní proměnné s a získáme jej bezprostředně Laplaceovou transformací rovnice (5.1), kde po jednoduché úpravě dostaneme

(5.3)


Samozřejmě, i zde budeme předpokládat, že platí mn, resp. deg b(s) ≤ deg a(s) (podle anglického degree = stupeň).

5.2.1 Některé vlastnosti přenosu a jeho další formy

S přenosem (5.3) souvisí některé pojmy, ze kterých uvedeme následující:

  • Polynom a(s) ve jmenovateli přenosu (5.3) je tzv. charakteristický polynom přenosu systému. Rovnice, kterou dostaneme, jestliže položíme tento polynom rovný nule, tedy
    a(s) = 0, je tzv. charakteristická rovnice. Kořeny charakteristické rovnice budeme také nazývat kořeny charakteristického polynomu.
  • Kořeny polynomu jmenovatele přenosu a(s) nazýváme také póly přenosu, kořeny polynomu čitatele přenosu b(s), které získáme řešením rovnice b(s) = 0, jsou nuly přenosu.
  • Řád přenosu systému n je dán stupněm polynomu jmenovatele přenosu, tedy
    n=dega(s) (ve většině případů je řád přenosu systému totožný s řádem systému).
  • Relativní řád systému je rozdíl mezi stupni jmenovatele a čitatele přenosu, tedy
    dega(s)-degb(s)
  • Přenos, ve kterém stupně polynomů jmenovatele a čitatele splňují podmínku
    deg b(s) ≤ deg a(s) nazýváme ryzí. Jestliže zde dále platí znaménko ostré nerovnosti, tedy deg b(s) < deg a(s), je přenos striktně ryzí, jestliže platí deg b(s) = deg a(s), je přenos nestriktně ryzí.
  • Statický systém je takový, u kterého prosté členy v polynomech jmenovatele i čitatele přenosu (charakteristického polynomu) a(s), b(s) jsou nenulové, tedy a0 ≠ 0, b0 ≠ 0. Je též nazýván jako systém proporcionální.
  • Jestliže jmenovatele přenosu můžeme vyjádřit ve tvaru , potom se jedná o systém astatický a číslo k je tzv. řád astatizmu. Astatický systém bývá také nazýván jako systém integrační.
  • Jestliže polynom čitatele přenosu můžeme vyjádřit jako , je systém nazýván jako derivační.

Přenosová funkce (5.3) může být v některých případech uvedena i v jiných tvarech. Jestliže kořeny čitatele přenosu b(s) (nuly přenosu) označíme jako cj, j = 1,..., m a kořeny jmenovatele přenosu a(s) (póly přenosu) jako si, i = 1,..., n, můžeme přenos vyjádřit pomocí pólů a nul ve tvaru

(5.4)


Dále, jestliže všechny póly i nuly přenosu jsou reálné, můžeme zavést tzv. časové konstanty pomocí vztahů

(5.5)


a přenos přepsat do vyjádření pomocí časových konstant

(5.6)


Dále uvedeme některé vlastnosti systému, úzce související s jeho přenosovou funkcí.