Úvod Laplaceova transformace Základní pojmy Modelování a identifikace řízeného systému Stavový popis spojitého dynamického systému Vnější popis a vlastnosti LSDS Řízení v uzavřeném regulačním obvodu


1 Laplaceova transformace

Laplaceova transformace je jedním ze základních matematických nástrojů teorie automatického řízení. Umožňuje transformaci funkcí z časové oblasti do oblasti komplexní. Důsledkem je skutečnost, že složité matematické operace v okruhu diferenciálních rovnic, které bychom museli vykonat při analýze a syntéze systémů řízení, mohou být nahrazeny mnohem jednoduššími operacemi algebraickými.

1.1 Definice Laplaceovy transformace

Mějme funkci f(t) definovanou na časovém intervalu 0 ≤ t < ∞. Ať je tato funkce na celém intervalu spojitá (nebo alespoň po částech spojitá) a definovaná pro každé t. Pak Laplaceova transformace funkce f(t) je dána definičním integrálem

(1.1)

kde s je komplexní nezávisle proměnná. Je zřejmé, že po integraci se (1.1) stává pouze funkcí s a dostaneme

(1.2)

Funkci f(t) nazýváme originálem a funkci F(s) obrazem funkce f(t).

Pozn.: I v případě, že funkce f(t) je na celém intervalu 0 ≤ t < ∞ spojitá a definovaná, nemusí její obraz existovat. Jestliže totiž má integrál (1.1) mít konečnou hodnotu, musí f(t) vyhovovat podmínce . Je zřejmé, že např. funkce f(t)=et2 tuto podmínku nesplňuje a tudíž její obraz neexistuje. Dále, při řízení procesů je t čas jako nezávisle proměnná, která nabývá vždy jen kladných hodnot. Jestliže je tedy nějaká funkce definována na celém intervalu -∞ < t < ∞ (např. funkce ), pak funkci f(t), kterou podrobujeme Laplaceově transformaci, chápeme ve smyslu .